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EXCELで遊ぼ(2): 微分の計算をしてみよう

今回もエクセルを使って微分(本当はごく小さい値をゼロにできないので有限値を使った差分)の計算を行ってみたいと思います。微分積分と聞くとそこで拒絶反応が出てしまう人が多いのですが、実は何のことはない微分というのは何回も割り算をしているにすぎないことが分かります。この発見おかげで時間にそって物体がどのように変化するかをうまくあらわされるようになりました。

さていつものようにこの方式の成り立ちですが、面白いことに二人の天才がほぼ同じ時期、独立に発見しています。ドイツでゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ(左)、イギリスでアイザック・ニュートン(右)がそのひとたちです。

Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg  GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg

優先権をめぐって熾烈な争いが展開されました。
ニュートンの発表はライプニッツより遅かったのですがライプニッツより早く発見
していたと主張しました。ニュートンは病的に猜疑心が強い性格であり、
ライプニッツが盗んだと主張を続けて25年間の長きに亘って法廷闘争を
行った経緯がつたえられています。
ニュートンはプリンキピアなどすぐれた著書をあらわし偉大な運動方程式など、
運動の法則に関して革新的な貢献をしています。
その成果とは裏腹に性格については、上記のように一緒にいるとつきあいたくないような人で
あったと言われています。晩年は錬金術にはまっていたようです。

さて本題に入ります。
まず微分(あるいは差分)の定義は、下記の式であらわされます。
CodeCogsEqn-2.gif

上記の右辺はxが少しだけ変化したときf(x)が少しだけ動いた.その変化の割合を割り算の形で書いた。
というものです。Xの変数がかわっていった場合その変化率がどのように変わるか?
割り算を非常に小さな区間で行ってその答えを並べていくと変化率の変化(?)が分かるというシロモノです。

色々細かいことはあるのですがそれを気にせずに、これをエクセル流に考えると下記のようになります。
ここではXの値を0.01づつ大きくしてあります。場合によってはこれを0.05とか、
精度を上げる為には0.0001、等にしなければなりません。
エクセル内の式

セルA2に初期値をいれます。セルB2にF(X)をインプット。2次関数ならば B2=A2^2。
C2はとりあえず空欄。セルA3にはA2の値を0.01だけ大きくした値が自動で入ります。
B3はB3=F(A3)=F(A2+0.01)の計算。C3はいよいよ差分F(A3)-F(A2)をA3-A2=0.01で割った値がはいります。
これを永遠と続けていくわけです。三角関数の場合は
F(X)=SIN(X)なのでF(A2)=SIN(A2)といれればOKです。

このやり方を踏襲していろいろな関数の差分を計算して各々グラフにしてみました。横軸はXの値です。
X の値はこの場合0.4づつ増加させました。Xの範囲は-5から+5まで。
グラフの赤い線がもとの関数、緑のグラフが差分した数値の変化(導関数)になります。

(1) Y=X^2: Xの2乗の元の関数のグラフとその微分したグラフ。微分はXの一次関数になります。
Y-2Xですね。ただ差分のXの差が大きいので少し誤差が出ています。
微分1 微分1G

Y=SIN(X) の三角関数を微分したもの。微分した関数はY=COS(X)のグラフになります。
微分2 微分2G

最後はとくに関数として数式にあらわせないもの。一般的には矩形信号と呼ばれる物を微分しました。
変化をしている所でピークが出るようなグラフになっています。F(X)の値は手入力で適当に入れました。
画像処理等で白と黒の境目で輪郭を求めるとき等にも使われます。
ここの面白さはどんな原関数を持ってきても差分の結果が出るます。割り算をしているだけですから。
ただあまり急峻な変化を伴った信号を入れると差分の数値がすごく大きくなりますので要注意です。
微分3 微分3G

以上、思ったより簡単に微分(らしきもの)が計算できました。

加筆(2011年10月19日):EXCELで積分する記事も掲載しました。→ EXCELで遊ぼ(4):積分の計算もしてみましょうか。
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