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カオス談義:マンデルブロー集合

今回のテーマはマンデルブロ集合(Mandelbrot Sets)。専門筋には有名な集合ですが一般的にはあまり馴染みがありません。この集合は数学者であるマンデルブロがほとんど一人で発展させたフラクタル幾何の中に出てくる集合(英文ではset: 同じ性質を持った数字の集まりとでも言えばいいのでしょうか)です。

カオスとかフラクタルとかたまに耳にする事があると思いますがその言葉自身何を意味しているのか理解するのは結構難儀ですね。カオスは混沌とも言われますが、じゃあ数学的に何?といわれると答えにくい。書いている私も本当に正確に把握しているかどうか疑わしいところはあります。一発奮起してちょっと正確に理解してやろうじゃないかと誤解を恐れずに書いてみたというのが今回のメモです。ブログのテーマではほんの少し触る程度になりますが。。

カオス、フラクタルの例を示しながら考えてみます。

例えば海岸線の長さを測ってみると奇妙なことが起こります。普通我々が慣れ親しんでいる図形はどんどん拡大していくと微視的な世界ではその線は直線になって長さが測れるような気がしますね。ところが実際はなんと縮尺をどんどんあげていくと更に複雑な曲線があらわれて、更にそれを拡大しても曲線が直線になるどころかまた同じようなパターンがでてくる。いつまでいってもきりがない状態が続きます。どうも自然界はそのような構造で出来上がっている事が多い、、というのが分かってきた。無限に小さくしてもきりがないーーそれで混沌となるのか?何か禅問答のようですが、実はそのような構造が我々の周りに結構あるということが分かってきています。

サンプル1:
数学的にもそのような曲線を作ることができてどこをとっても微分不可能しかしその曲線で囲まれた部分は有限である。下図のようなもの。これはコッホ曲線と言います。部分が全体と相似なもの。無限に拡大しても同じパターンが続きます。

img5.jpg

サンプル2:
植物の成長過程でも同じような兆候があり、新しい芽が出るパターンは大きな茎とほぼ相似の形で育っていきます。下記は実際の新芽の写真。厳密には相似ではないが相似的な構造を持っている。幹や枝分かれも同じようなメカニズムで育っているのではないかと想定されています。机の上の観葉植物が芽を出したので撮影しました。
名称未設定-1

サンプル3:
葉っぱの葉脈をさらに深く掘り下げて研究した結果、植物ホルモン流れ、葉の上⽪皮細胞と葉⾁肉細胞の間の弾性ストレスなどを作用要因としてコンピュータシミュレーションで再現させた葉脈が下記の図です。本物とよく似ていることが分かりますね。(Laguna MF, Bohn S, Jagla EA (2008) The role of elastic stresses on leaf venation morphogenesis. PLoS Comput Biol 4: e1000055.からの引用)。

スクリーンショット(2011-06-03 13.53.04)

サンプル4: 自然界にあるフラクタル模様 (11 Fascinating Fractals in Nature
Published on 12/30/2008 under Weird Science - 139,678 views)から引用。
a302_f1.jpg a302_f10.jpg
クジャク                     雷

1310e735.jpg 6e200955.jpg
海岸線                      貝殻

サンプル5:
さて前置きが長くなりましたが、ここからマンデルブロー集合の話。マンデルブローは下記のような簡単な数式で表される数字の集合が実は大変面白い性質を持っている事を明らかにしました。

latex-image-1_20110603135813.png

latex-image-2_20110603135813.png

ある複素数Cが与えられて、Zの初期値が0で上記の漸化式のlatex-image-3_20110603140233.pngが無限大にならないようなCの値をとる集合をマンデルブロ集合と定義しました。

今はコンピュータが高速計算できるので自宅のパーソナルコンピュータでもこのような図形を再現できます。下記の図形は前に紹介しました統計ソフト(R)で実際に描いてみた図です。そのプログラムも下記に示します。

第1図:これがマンデルブロー集合の全体図。全てここからスタートです。
スクリーンショット(2011-06-03 1.11.11)

第2図
スクリーンショット(2011-06-03 1.11.47)

このプログラムは、あたえられた複素数C点でZを50回計算しその絶対値が4以上になれば拡散、それ以外は拡散しないと判定し、拡散無しの場合はそのC点を黒にする。発散の場合は4以上になった計算回数n(n<50)をその回数によって色分けしたものです(つまり発散の早さで色分けした)。解像度は0.003の数値で決めています。Cの範囲は虚数軸が-1.4から+1.4まで。実数軸が-2から+0.8にしています。したがって計算するCの数は約870,000個になります。各々の点で最高50回計算しますから、計算回数は一画面全体で43,500,000回になります。拡散の判定もやりますから結構な計算回数をこなすわけですね。

次の二種類の図は第3図がC点がC1=0.1289-0.9878iの場所の拡大した所。第4図がC2=-01032-0.9396iの場所を拡大したものです。どちらもこの集合が拡散する、しないの境界付近を大きくしたものですごく複雑な形をしています。これ以降どんどん拡大して言っても同じような図形が現れて決して境界線が平坦になるところはありません。以降の第5図、第6図、いずれの場合もスタートは第1図です。

第3図:
C=1289E-1+9878E-1i_convert_20110603015500.png

第4図:
1032E-1+9396E-1i.png

第4図の一部を拡大してみましょう。四角で囲った部分です。

拡大_convert_20110603020837

          矢印
第5図
拡大2

数学的な話はべつにして実際に図を描いてみるとアート風でなかなか面白いと思いますね。貝殻の出来具合等にも通じるものがあるのかもしれません。普段よく見る模様に似ているなと感じるのは私だけではないような気が。。。

CがC=-0.745428-0.113008iのところで縮尺を2:0.0000067に拡大したときのパターンを下記に示します。この中に第1図の黒い集合部分が再度現れています。ここは拡散しない部分です。カラーのモザイクは拡散の速さが違う状態を示しています。
第6図
Mandelbrot 3

ところでこの集合は境界線近傍では初期条件で結果が大きく変わる状態が発生します。自然現象ではすこし初期条件が変わっても結果も少しだけ変化すると考えるのが常識となっていますが、このフラクタルの世界では、

1. 初期条件を与えると決定論的にその先の数値が決まる。が、しかし
2. 初期条件を少し変えても結果が大きく変わる。← これをバタフライ効果とよぶ。

元々フラクタルの概念は気象学の研究過程で発見された事にちなんで。バタフライ効果とは、中国北京で蝶々が羽ばたくと回りまわってニューヨークでは嵐になるというたとえ話から。

下記のグラフでそれが分かります。マンデルブロー集合でCの値がC1(ブルーのグラフ)=-1.5+0.000555iとC2(レッドのグラフ)=-1.5のケースで初期値が虚数部分で少し違うだけでC1は26回目の計算Z26で拡散していきます。これは私が実際にEXCELで計算した結果です。

第7図
カオスグラフ

ただまだ私が理解できないのは、計算をして答えは出せますものの、上記のような簡単な式がなぜこのような境界線が複雑である綺麗なパターンを生成させるか、マンデルブロがどどうしてこの集合を発見したのか?
これからちょっと時間をかけて調べていきたいと思います。



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パラメータからはどんな幾何学模様が出てくるか想像がつきませんね。螺旋以外の模様は出来るんでしょうか?
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