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相対性理論の有名な式E=mc²はどうやって導かれたのかな?(その1)

相対論ではみんな知っている有名な。 この式を短いブログ記事で導く事を試みることにしました。しかし一回だけでやっつけるのはきびしいので数回に分けていきたいと思います。

images_20121106200527.jpg Hendrik_Antoon_Lorentz.jpg Joh-Minkowski.png
写真左から、アインシュタイン、ローレンツ、ミンコフスキー

さあやってみますよ。原典優先でアインシュタインが説明した方法をなぞります。

ただ一つだけ基本的な事...そもそも相対論は最初のアインシュタインの論文「動いている物体の電気力学」だったこと。電気力学はニュートンの力学での慣性系座標間の変換式が成り立たなかったので、その正確な変換則を見いだしたこと(ローレンツ変換による変換で法則が崩れない)。その新しい座標系で考えられた4次元時空空間(ミンコフスキー空間)から導入される運動量等からに示されるエネルギーと質量の関係が見いだされた事をバックボーンとして留意しておきましょう。アインシュタインの論文が提出された1905年頃には既にローレンツが座標系の変換について提案していました。ミンコフスキーは大学でアインシュタインの先生でした。相対性理論は彼の数学によってよりすっきりした形で語られるようになりました。

アインシュタインの論文の究極的な目的は、マイケルソンモーリーの実験結果を受け入れて、
1) 光の速度は光源の速度に依存しない 「高速度不変の原理」
2) どんな慣性系でも物理法則は同じ 「相対性理論」
を前提にした力学を構築しましょう..という事なのでした。

そのために、観測系Kとそれに等速度で動くK'で何が不変かを考える事が始まりです。力学(もっと広く電磁気学を含む物理学)の法則はその慣性系の如何に関わらず成立するというお約束があるので、光の速度が観測系の取り方に関わらず一定という事実をとっかかりにすればよかろうという話が出発点になったのです。(上記1番目の前提:光速度不変の原理)

慣性系Kの一点P1から光がP2まで通ったとしましょう。その距離rとすると光の速度をcとした場合、
 になる。この式を二乗しを座標であらわせば

     ..... (1)

になる。cの値は慣性系K'にも同じ事がいえて(上記2番目の前提:相対性理論の適用)、

    ..... (2)

さてここでの課題は慣性系Kから見て慣性系K'がどのようにあらわされるかを導くことです。これをローレンツ変換と言います。慣性系KとK’は全く相対性があるので、KをK'であらわす式もローレンツ変換では同じになりますね。ここでのミソはtとt'を別個に考えている事ですね。従来の常識ではK、K'にかかわらず時間tは同じだったので、この仮定に注意を払っておく事は重要と思います。もっときっちり言うと相対論ではKの慣性系の人はKの時計を使ってKの長さで現象を説明し、K'の系の人はK'の時計を使ってK'の長さで現象を観測し説明するという事を明確にしなければならないというルールです。さてあとは上記の変換式をひたすら探すということになります。






というかたちで16個の係数を求める計算になります。なぜ一次式で書けるかという事ですが、2次式だと反対の変換
例えばの式が同じ次元にならないからです。
慣性系がx方向を速度vで動いている場合を考えるとこれらの係数はもっと簡単になって、





になります。ここではそれぞれ係数を書き直してにしました。この係数を求めればいいことになります。この式を式(2)に代入して計算すると





これは3元連立方程式なのでそれぞれ解は下記のようになります。




これをもとの式に代入すると






これがローレンツの変換式です。任意の二つの慣性系に対するそれぞれの数値の変換方法が見つかりました。光速度  にすればニュートン力学で使っている古典的なガリレイ変換と同じになることが分かります。






それではローレンツの変換式を実際にエクセルで計算してみましょう。そうすると状況がよくわかります。

設定:
慣性系Kがx軸の正方向に秒速150000000m/sec(光速度の半分)で等速度運動をしている。これをv1とする。
慣性系Kの原点にいる人が慣性系K2をみる。
観測系Kの時間をT1とする。
慣性系K2の観測系Kの原点の速度、位置、時間をそれぞれV2,X2,T2とする。
V2はで計算しています。速度にマイナス記号がついているという事は慣性系Kが慣性系K2から見ると反対側にV2で等速度運動をしているということになりますね。

その場合の各種パラメータの状況の計算結果を下記に示します。この図ではKの時間が0秒から29秒までを計算しています。その場合のT2(慣性系K2の時間)は0から33.4秒担っていますね。慣性系Kは光の早さの半分の速度で動いています。これがもっと遅くなるとT1とT2の値は殆ど同じになります。
時間遅延データ

慣性系から見た慣性系K2の時間は下記のグラフのようになります。つまりK2の時間が遅れていることになりますね。
時間遅延グラフ

ローレンツ変換を求める方法はほかに電磁力学の式をいじくる方法や、ミンコフスキーの図を工夫して幾何学的に理解する方法等いろいろあります。下記の本等に詳しく書かれています。

アインシュタインとファインマンの理論を学ぶ本―相対性理論と量子電磁力学入門アインシュタインとファインマンの理論を学ぶ本―相対性理論と量子電磁力学入門
(2000/11)
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ここまでが途中の重要な通過点。ローレンツの物理的解釈はなかなか面白いものがあり、相対論を語る上で常に話題に上りますが今日はこれ以上の話はお預け。さて次に急ぎましょう。運動量やエネルギーの話にここで得た考え方を展開しなければなりません。次回以降で4次元空間の速度や運動量、その考え方を基にしてエネルギーと質量の関係を導きたいと思っています。



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