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素人談義:応力解析などで使う有限要素法ってなんですか?

複雑な構造物の力学解析などをする際に有限要素法という方法を使いますが、言葉はよく聞くけれども専門家以外は何を計算しているのかよくわからないですよね。そこで無謀を顧みず直感的に分かるようにこの計算方法を述べてみようと思いました。自分自身の学習のためという目的もありますが。

構造解析の一例です。IHIのジェットエンジン設計チームのURLから転載させていただきました。
index_05.jpg

複雑な物は直線で近似して計算するという方法はよくあります。微分や積分などは数値計算では、細かく分けて直線で簡単ナ計算をし、それを後で足し合わせるなど。下はそのイメージ図です。細かく分けて積や差分を求めるのは数値計算の常套手段ですね。

微分の場合はEXCELで遊ぼ(2): 微分の計算をしてみよう 積分の場合はEXCELで遊ぼ(4):積分の計算もしてみましょうか。を参照してくださいね。

近似

有限要素法はものすごく簡単に言ってしまえば複雑な構造をした物体を細かな要素に分けて各々の要素をバネの法則でひずみやストレスを計算しその分布を示す。ということになりそうです。
バネの法則はよくわかりますね。バネばかりの原理です。重い物をぶら下げるとバネが伸びますが伸びる距離が重さに比例するということ。別名フックの法則といいます。余談ですが、赤道上と北極ではバネばかりを使うと少し重さが変わるそうです。遠心力の影響かも。天秤を使うと地球の自転の影響が相殺されるので場所に影響されず正確に測定できます。これは差分を使っているためとだけ言っておきましょう。

構造物の解析は細かい所のストレス(単位面積に加わる力)とひずみ(ストレスが加わったときに生じる極小区間の縮みや伸び)を求める事です。複雑な形を小さなバネの形にしてしまい、各々のバネに架かる伸びと力を示すのが有限要素法といえるでしょう。下図のその状況を示します。一番左にあるような構造を小さな三角形で区切ります。その各々要素(三角形)の三辺にバネがあるような構造と考えて式を解く訳です。

FEM.jpg

フックの法則は つまりストレスと歪みはE(ヤング率)を係数にして比例するのですね。バネをのばしているような感覚を持ってください。。この式を上記の各辺に適用して各要素変数の連立方程式を解きます。物体をバネを持った沢山の部分に分けてしまうという事です。実際はもっと複雑な手順を踏まなくてはなりませんが、まあここではこの話は簡単にすませたいと思います。厳密さよりはあくまで直感に感じる事が大切という事で。

複雑な形状をした物は要素の組み合合わせ個数がかなりあるので、未知数がものすごく多くなります。簡単な物では100元の連立方程式を解くような話になります。正確に結果を出すためにはそれ以上の多元方程式になりその計算のためコンピュータのCPUに相当の負荷がかかります。大体のシミュレーションは有限要素法の手法をとる事が多いので、スーパーコンピュータのような演算のものすごく早い計算機が必要になる訳です。

手短に簡単な例として3元連立方程式をどのように解けるか?を考えてみましょうか。3元連立方程式は下記のように書けます。


これを解けば


ここで右辺の分母は前の行列の逆行列をあらわしています。実際に行列に数字を入れてEXCELで解いてみますか。
連立方程式1

上図で上の3行は であらわされる三元連立方程式です。
行列式で書くと下記のようになります。
   

5から7行目は逆行列の計算で "=MINVERSE()という関数を使って計算しています。(関数の入力欄は下図参照。)、さらに=MMULT()という関数で行列と係数を掛け合わせして(これも下図参照) x、y、z、の答えを出しています。
最後の3行は求められた解をもとの式に代入して検算をしています。

連立方程式2  連立方程式3

さて実際の有限要素法の解析例を示します。第1図は数字データの一部、第2図は拘束条件と加えられた力の大きさと方向。第3図が応力と歪みの計算結果をグラフィック表示した物です。この例では左側の底辺を固定して、円筒の向かって下側に力を加えています。 この例では約4400個の要素が考慮されています。結果を出すのにDual CoreのIntelProcessor 2.66GHzで約10分間計算に費やしました。

第1図
要素のデータ

第2-1図:拘束条件と加える応力(簡略化した図)
概略図

第2-2図:拘束条件と加える応力
FEM入力条件

第3図:計算結果
結果を見ると部品は下方向に少しひずんで曲がっているように見えますね。また円筒の首の所が赤くなっていますがここに高い応力が加わっているようです。
FEM計算結果

物体を要素に分けるやり方を間違えるとその後の処理は計算のみなので、間違った結果を出す恐れもあります。要素に分けるやり方などを注意深く行わなければなりません。有限要素法の結果が正しいかどうかは他の方法で確かめることができませんので、コンピュータ処理が進んでいてもやはり技術者の経験などが物をいうケースが多いようです。いろいろな組み合わせを行ったり、状況を簡単化してその計算結果とあわせたり色々なパラメータを変えたりして分析を行うという事です。





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